7ème D – Mathématiques – Les nombres complexes

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Overview

Chapitre 1 – Les nombres complexes (7ème D). À la fin de ce chapitre, l'élève sait : définir le nombre i ; écrire un nombre complexe sous forme algébrique ; trouver sa partie réelle et sa partie imaginaire ; placer un nombre complexe dans le plan. Méthode : regarder chaque vidéo, lire le cours, puis faire le quiz.

Curriculum

Chapitre 1 – Les nombres complexes

14 Lectures 1 hr 38 min

Leçon 1 – Les nombres complexes (découverte)

5 min

Leçon 1 – Le cours écrit

12 min

Leçon 1 – Quiz

15 min

Leçon 2 – Le conjugué d'un nombre complexe

6 min

Leçon 3 – Le module d'un nombre complexe

6 min

Leçon 4 – L'argument d'un nombre complexe

6 min

Leçon 5 – La forme trigonométrique

6 min

Leçon 6 – Racine carrée d'un nombre complexe

6 min

Leçon 7 – L'équation du second degré

6 min

Leçon 8 – L'équation du troisième degré

6 min

Leçon 9 – La forme exponentielle

6 min

Leçon 10 – Géométrie : configurations de base

6 min

Leçon 11 – Géométrie : ensembles de points

6 min

Exercice corrigé 1 : Les deux formes d'un nombre complexe

6 min

Écoles Noujoum

Mathématiques · 7ème D · Chapitre 1

Cours

Les nombres complexes : découverte

Leçon 1 · Les nombres complexes · À lire après la vidéo

Sommaire

Introduction

1. Le nombre i

2. Les nombres complexes

3. Partie réelle et partie imaginaire

4. Un nombre complexe, c'est un point

Conclusion

Introduction

Prenons n'importe quel nombre réel et multiplions-le par lui-même : 3 × 3 = 9, et (−3) × (−3) = 9 aussi. Le carré d'un nombre réel n'est jamais négatif.

Alors, quel nombre, multiplié par lui-même, donne −1 ? Aucun nombre réel ! Pour résoudre ce problème, les mathématiciens ont inventé de nouveaux nombres : les nombres complexes. Le nom fait peur, mais l'idée est simple.

1Le nombre i

On ajoute aux nombres réels un nouveau nombre, noté i. Il a une seule règle spéciale : multiplié par lui-même, il donne −1.

i × i = i² = −1

Définition

Le nombre i :

i est un nombre tel que i² = −1. Ce n'est pas un nombre réel.

2Les nombres complexes

Avec i, on fabrique de nouveaux nombres en mélangeant deux morceaux : un nombre réel, plus un nombre réel multiplié par i. Par exemple : 3 + 5i.

Définition

Nombre complexe :

Un nombre complexe s'écrit z = x + iy, où x et y sont des nombres réels. L'ensemble de tous les nombres complexes se note ℂ.

Les nombres réels font partie des nombres complexes : un réel, c'est simplement un nombre complexe sans morceau en i. On note ℝ l'ensemble des nombres réels, et on écrit ℝ ⊂ ℂ (ℝ est contenu dans ℂ).

Comment calculer avec les nombres complexes ?

On calcule comme d'habitude : l'addition et la multiplication suivent les mêmes règles que pour les réels. Il faut seulement se souvenir que i² = −1. Exemples : (2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i ; (1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 1 − (−1) = 2.

3Partie réelle et partie imaginaire

L'écriture z = x + iy s'appelle la forme algébrique de z. Elle a deux parties :

le morceau sans i, x, est la partie réelle de z ; on écrit Re(z) = x ;
le nombre devant i, y, est la partie imaginaire de z ; on écrit Im(z) = y.

Attention

La partie imaginaire est le nombre y, sans le i. Pour z = 3 + 5i, Im(z) = 5 (et non 5i).

a.Entraînons-nous

Nombre z	Partie réelle Re(z)	Partie imaginaire Im(z)
3 + 5i	3	5
−7 + 12i	−7	12
14i	0	14
−19	−19	0
2 − 7i	2	−7

b.Deux cas particuliers

Si Im(z) = 0, le nombre est réel. Exemple : −19.
Si Re(z) = 0, on dit que z est un imaginaire pur. Exemple : 14i.

À retenir

i² = −1. Un nombre complexe s'écrit z = x + iy (forme algébrique), avec Re(z) = x et Im(z) = y, deux nombres réels.

4Un nombre complexe, c'est un point

Les nombres réels se rangent sur une ligne. Les nombres complexes, avec leurs deux parties, ont besoin d'un plan muni d'un repère orthonormé (O ; u⃗, v⃗) : deux axes perpendiculaires qui se coupent en O, avec la même unité sur les deux. Les vecteurs u⃗ et v⃗ ont pour longueur 1.

Comme une adresse : la partie réelle dit de combien on va vers la droite, et la partie imaginaire dit de combien on monte.

Définition

Point image et affixe :

Au nombre complexe z = x + iy, on associe le point M(x ; y). On dit que M est le point image de z, et que z est l'affixe du point M.

Doc. 1 – Le point M(x ; y), point image de z = x + iy.

a.Du nombre au point

Nombre complexe	Point image	Où est le point ?
4 + 6i	M₁(4 ; 6)	on avance de 4, on monte de 6
−4	M₂(−4 ; 0)	sur l'axe horizontal : l'axe des réels
5i	M₃(0 ; 5)	sur l'axe vertical : l'axe des imaginaires purs
0	O(0 ; 0)	l'origine du repère

b.Du point au nombre

Point	Affixe
(−3 ; −8)	−3 − 8i
(3 ; 0)	3
(0 ; 6)	6i
(−2 ; 5)	−2 + 5i

Doc. 2 – Les points images des nombres complexes de la leçon.

À retenir

Les nombres réels sont sur l'axe horizontal ; les imaginaires purs sont sur l'axe vertical. Le point M(x ; y) a pour affixe z = x + iy.

Conclusion

Notion	À savoir
Le nombre i	i² = −1
Forme algébrique	z = x + iy, avec x et y réels
Partie réelle	Re(z) = x
Partie imaginaire	Im(z) = y (sans le i)
Réel / imaginaire pur	Im(z) = 0 → réel ; Re(z) = 0 → imaginaire pur
Point image	z = x + iy ↔ M(x ; y) ; z est l'affixe de M